Università degli Studi di L'Aquila - Corso di Laurea in Matematica

anno accademico 2012-2013

Obiettivo del corso:

fornire gli strumenti matematici adatti alla soluzione numerica dei problemi di base delle scienze applicate e allo sviluppo di algoritmi in un linguaggio di programmazione strutturata. Il corso è di 9CFU ed ha una durata di 90 ore.

Risultati di apprendimento previsti:

Essere in grado di risolvere numericamente problemi basilari di analisi e di algebra lineare nell'ambito di modelli matematici delle scienze applicate e di capacità di sviluppo di codici.

Programma sintetico:

Problemi numerici e algoritmi; condizionamento e stabilità. Algebra lineare numerica. Metodi per la soluzione di sistemi lineari. Metodi per la ricerca degli autovalori. Approssimazione di funzioni; interpolazione e minimi quadrati. Metodi iterativi per la determinazione degli zeri di funzione. Formule di quadratura.

Docenti: Nicola Guglielmi (6CFU), Chiara Simeoni (3CFU).

Programma dettagliato:

1. Analisi degli errori:
   • Rappresentazione dei numeri reali in una data base. Rappresentazione in virgola mobile. I numeri di macchina. Troncamento ed arrotondamento. Operazioni di macchina. Propagazione degli errori. Condizionamento dei problemi e stabilità degli algoritmi.
   • Elementi di programmazione: Rudimenti di Unix. Linguaggio MATLAB (SciLab).
2. Algebra lineare numerica:
   • Vettori, matrici e loro proprietà. Norme. Autovalori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Classi di matrici particolari (matrici hermitiane, definite positive, ecc.). Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari: sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss, pivoting. Fattorizzazioni LU ed LL^H.
   • Fattorizzazione di Cholesky. Condizionamento di un sistema lineare. Numeri di condizionamento.
3. Elementi di programmazione: Implementazione degli algoritmi in MATLAB.
   • Esercitazioni (2) al calcolatore sulla fattorizzazione LU e di Choleski.
4. Calcolo di autovalori e autovettori. Localizzazione degli autovalori nel piano complesso. Teoremi di perturbazione per gli autovalori. Metodo delle potenze e variante di Wielandt per la determinazione di autovalori ed autovettori di matrici.
   • Esercizitazioni (2) al calcolatore sull'approssimazione degli autovalori mediante metodi delle potenze e potenze inverse.
5. Interpolazione ed approssimazione. Calcolo di un polinomio algebrico in un punto. Interpolazione polinomiale. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Errore di interpolazione. Polinomi di Cebishev: formula ricorsiva, zeri, proprietà di minima norma. Calcolo del polinomio di interpolazione. Formula di Newton delle differenze divise.
6. Cenni sul problema della convergenza di schemi interpolatori. Interpolazione mediante polinomi a tratti. Funzioni spline. Calcolo delle spline cubiche.
   • Esercizitazioni (2) al calcolatore sull'interpolazione polinomiale uniforme e su nodi di Cebishev.
7. Formule di quadratura. Forma generale di una formula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Teorema di convergenza. Formule di Newton-Cotes. Formule Gaussiane. Stima empirica dell'errore. Formule composite: trapezi e Simpson. Metodo di Romberg. Quadratura adattiva (cenni).
   • Esercizitazioni (2) al calcolatore sull'integrazione numerica. Sviluppo di un integratore adattivo
8. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni. Metodi di tipo splitting; teorema generale di convergenza; controllo dell'errore; metodi iterativi di Jacobi e di Gauss Seidel; teorema di convergenza per il metodo di Jacobi applicato a sistemi fortemente e debolmente diagonali dominanti.
   • Esercizitazione al calcolatore sull'applicazione deli metodi iterativi.

Testi di riferimento:

• D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, 1988.
• E.Isaacson, H.Keller, Analysis of numerical methods, J.Wiley & sons, New York, 1966.
• G.Monegato, Calcolo Numerico, Levrotto e Bella, Torino, 1985.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer - Collana Unitext, 2000.
• J.Stoer, R.Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, 1993.

Orario settimanale delle lezioni: da stabilire nel secondo semestre.

Modalità d'esame:

Prova scritta, prova di laboratorio, prova orale (facoltativa).

Orario di ricevimento Nicola Guglielmi: Mercoledì: ore 11.30 - 13.30. Chiara Simeoni: su appuntamento

Pagine WEB consigliate:

http://univaq.it/~guglielm